Вычислить период малых колебаний ареометра которому сообщили

2018-05-31
Вычислить период малых колебаний ареометра (рис.), которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса ареометра $m = 50 г$, радиус его трубки $r = 3,2 мм$, плотность жидкости $
ho = 1,00 г/см^<3>$. Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.

Когда ареометр в равновесии, его вес уравновешен силой Архимеда, действующей на него жидкостью. Во время небольших колебаний давайте расположим ареометр, так чтобы он находился на расстоянии $x$ от его положения равновесия. Очевидно, что неуравновешенная сила на ареометре представляет собой избыточную силу плавучести, направленную вверх и равную $pi r^ <2>x
ho g$. Следовательно, для ареометра.

$m ddot = – pi r^ <2>
ho gx$
или, $ddot
= – frac < pi r^<2>
ho g >x$

Следовательно, искомый период колебаний

$T = 2 alpha sqrt< frac < pi r^<2>
ho g > > = 2,5 с$.

Определите период малых колебаний ареометра, которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса ареометра 50 г , радиус его трубки 3 мм, плотность жидкости 0,8 г/см^3 . Вязкостью жидкости пренебречь.
Хоть скажите, что такое ареометр) 11 год

малой амплитудой. Масса ареометра 25 г, радиус его трубки 1,5 мм, плотность жидкости

. Каков период этих колебаний? Сопротивлением жидкости пренебречь.

Задачу решить двумя способами – динамическим и энергетическим.

Считать, что гармонические колебания происходят по закону косинуса

  • Попроси больше объяснений
  • Следить
  • Отметить нарушение

Sukhanovakseny 16.10.2019

Ответ

Проверено экспертом

Ответ:

Объяснение:

м – радиус окружности сечения ареометра.

– площадь сечения ареометра.

кг – масса ареометра.

кг/м³ – плотность жидкости.

Ось – направлена вертикально вниз.

Выберем ноль для вертикальной Оси , напротив положения нижней точки ареометра, когда тот находится в состоянии равновесия.

Колебания потенциальной энергии жидкости мы будем учитывать (в Энергетическом Решении), т.е. изменение общего объёма "жидкость и погружённая часть ареометра". Однако, моменты увеличения и уменьшения указанного объёма мы будем считать происходящими на фоне пренебрежимо малых изменений высоты жидкости, считая площадь поверхности жидкости достаточно большой. Короче говоря, колебаниями уровня жидкости мы пренебрегаем, поскольку нам не сообщается не только площадь сечения сосуда, а, да и вообще ничего о его форме, которая может иметь даже переменную по высоте площадь сечения. Так что приходится просто считать, что сечение сосуда, в основном, многократно больше по площади, чем сечение ареометра, а стало быть, его погружение в сосуд не влияет на уровень жидкости в сосуде так, чтобы нам приходилось бы вследствие этого значительно пересчитывать координату ареометра.

По закону Архимеда:

, где – высота погружённой части ареометра в любой момент,

, где – высота погружённой части ареометра в состоянии равновесия.

В состоянии равновесия:

Разделим на массу:

Получаем классическое дифференциальное уравнение с гармоническим решением:

Нужно учесть энергию подъёма жидкости.

Когда ареометр погружается из состояния равновесия на глубину , он вымещает из-под себя дополнительный объём жидкости , который перемещается от своего центра масс, находившегося на координате до новой координаты , "размазываясь" по поверхности жидкости. Увеличение потенциальной энергии жидкости при этом составляет:

Уменьшение потенциальной энергии самого ареометра при этом составляет:

Общее увеличение потенциальной энергии системы "жидкость и ареометр":

Заметив, что , как это следует из уравнения равновесия (*), имеем общее увеличение потенциальной энергии системы "жидкость и ареометр" в упрощённом виде:

, при этом в процессе малых колебаний, ареометр имеет и какую-то кинетическую энергию , в сумме с которой мы будем иметь полную сохраняющуюся механическую энергию:

, поделим на скорость:

, и вот мы опять пришли к уравнению (**), решение которого уже произведено.

Поделиться в соц. сетях

Опубликовать в Google Buzz
Опубликовать в Google Plus
Опубликовать в LiveJournal
Опубликовать в Мой Мир
Опубликовать в Одноклассники

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector